Coordonnées de la somme de vecteurs et du produit d'un vecteur par un réel

Coordonnées de la somme de deux vecteurs

On considère deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) dans le plan tels que \(\vec{u}(x;y)\) et \(\vec{v} (x';y')\).

On considère le vecteur \(\vec{w}\) tel que \(\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}\).

Formule : les coordonnées de la somme \(\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}\) sont données par la relation :  \(\vec{w} = (x + x' ; y + y')\).

Exemple

On considère deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) dans le plan tels que \(\vec{u}(2;5)\) et \(\vec{v} (-1;3)\).

\(\vec{w} = (2 +(-1)  ; 5 + 3)\)

\(\vec{w} = (1 ; 8)\)

Coordonnées du produit d'un vecteur par un réel \(k\)

On considère un vecteur \(\vec{u}\) et un réel \(k\).

Définition : le produit du vecteur \(\vec{u}\) par un réel \(k\) noté \(k\vec{u}\) est le vecteur \(\vec{v}\) dont les caractéristiques sont les suivantes.

• Les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ont la même direction (ils sont donc colinéaires).
• Si \(k > 0\), alors  \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ont le même sens et si \(k < 0\), alors  \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont de sens opposés.
  

Exemple 1 : `\vec{v} = k \times\vec{u}` avec \(\vec{u} (3;-2)\) et \(\vec{v} = 2\times\vec{u}\).

Remarque : ici les vecteurs `\vecu` et `\vecv` sont colinéaires et ont le même sens car \(k > 0\).

Les coordonnées de \(\vec{v}\) s'obtiennent en multipliant par \(2\) les coordonnées de \(\vec{u}\) : \(\vec{v} (6;-4)\).

Exemple 2 : `\vec{v} = k \times\vec{u}` avec \(\vec{u} (1;5)\) et \(\vec{v} = -3\times\vec{u}\).

Remarque : ici les vecteurs `\vecu` et `\vecv` sont colinéaires et ont le même sens car \(k < 0\).

Les coordonnées de \(\vec{v}\) s'obtiennent en multipliant par \(-3\) les coordonnées de \(\vec{u}\) : \(\vec{v} (-3;-15)\).